O Ábaco

 

Ábaco, na verdade, é qualquer instrumento de manipulação que ajude a fazer cálculos (cartazes de pregas, contador, cartaz de valor-lugar, soroban, etc.).

Se nos remetermos à pré-história, no período neolítico, quando o homem passou pelo processo de sedentarização, surgiu a idéia de criar animais para o consumo. Uma das primeiras dificuldades foi saber quantos animais uma família ou aldeia possuía.

A solução era relacionar de forma biunívoca animais e pedrinhas, isto é, para duas cabras, colecionavam-se duas pedrinhas.

Com um tempo, o homem começou a contar outros objetos, cujas quantidades tornavam-se inviáveis de representar biunivocamente com pedrinhas. Assim, agrupar quantidades iguais e representá-las com outros objetos foi a saída.

Por exemplo, os egípcios costumavam formar grupos de cinco pedrinhas e substituir estas cinco por um graveto. Dessa forma, 2 gravetos e 3 pedrinhas correspondiam ao 13.

Povos diferentes, formavam esses grupos de maneiras diferentes – o que chamamos na matemática de bases numéricas.

Na idade antiga, a escrita facilitou muito o processo de representação de quantidades. O ser humano pela primeira vez utilizou símbolos gráficos para representar números.

Porém, antes de chegarmos nesse grau de evolução (da escrita), vamos estudar sobre um instrumento desenvolvido na China antiga – o ábaco.

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.

Cada conta corresponde a uma unidade na coluna inferior direita; cinco unidades na coluna superior direita; uma dezena na segunda coluna inferior; cinco dezenas na segunda coluna superior e assim sucessivamente.

Em uma versão simplificada – a que usamos no ocidente, o ábaco é composto por uma base de madeira, colunas (cilindros) de metal ou madeira perpendiculares à base e esferas ou roscas para as contas.

O valor posicional, assim como no ábaco chinês, é dado da direita para esquerda. Se utilizarmos a base decimal, a primeira coluna é a das unidades; a segunda, das dezenas; a terceira, das centenas e assim sucessivamente.


Digamos que, no ábaco ocidental queiramos fazer 10 + 12. Inicialmente colocamos dez unidades na coluna das unidades. Mas, lembrando nossos antepassados, é mais inteligente utilizar a posição das dezenas, já que 10 = 1 x 10, isto é, uma dezena.



Agora, vamos colocar 12 unidades na coluna das unidades.


Essas 12 unidades podem ser escritas e representadas como 1 x 10 + 2, isto é, uma dezena mais duas unidades. Assim, retiramos dez unidades, que “passam” para a coluna das dezenas como uma dezena. Esse é o famoso “vai um” do algoritmo da adição. Na realidade não “vai um”, o que vai é uma dezena a ser somada às dezenas.

Dessa forma ficamos com a disposição final:


Que corresponde a expressão numérica 2 x 10 + 2 que é igual a 22. Veja 22 que são duas dezenas mais duas unidades (20 + 2 = 22). Tal raciocínio é a base para o algoritmo da operação da soma com números naturais na base decimal.

É bom lembrarmos que 10 unidades são 1 dezena:



Que 10 dezenas são 1 centena:




Que 10 centenas são 1 milhar:




E assim por diante.

Uma vez compreendida essa ação de substituir, na base decimal, dez vezes a unidade anterior em uma unidade posterior (exemplo 10 centenas em 1 milhar), e assimilado esse conceito, estaremos aptos a afirmar que sabemos somar números naturais na base dez.


Desafio: Faça algumas operações de soma na base 5 e represente esses números no ábaco

 

Algo que pode facilitar a leitura do número expresso no ábaco (se estivermos trabalhando com base decimal) é termos estampados, na base, os nomes das posições (unidades, dezenas, centenas, etc).


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