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TRIDIMENSIONALIDADE

O mundo à nossa volta é povoado de formas as mais variadas tanto nos elementos da natureza como nos de objetos construídos pelo homem.

As formas tridimensionais são aquelas que têm três dimensões - comprimento, largura e altura. Elas se distinguem das formas bidimensionais. Cubos, pirâmides, paralelepípedos, cones, cilindros, esferas são formas tridimensionais, enquanto quadrados, triângulos, retângulos, círculos são formas bidimensionais.

Essas figuras podem ser ocas ou não. As não ocas são conhecidas como sólidos geométricos, dentre os quais destacam-se o grupo dos poliedros e o dos corpos redondos.

Mas o que vem a ser um poliedro?

Um poliedro é um sólido limitado por um conjunto finito de polígonos, que vão ser denominados faces.

Cada lado de um polígono desse conjunto coincide com um lado de um outro polígono desse conjunto.

Os lados de polígonos que se encontram vão constituir as arestas dos poliedros.

Os vértices dos polígonos também vão constituir os vértices do poliedro composto por eles.

Há poliedros ditos convexos - quando todas as suas faces estão situadas num mesmo semi-espaço em relação a qualquer plano que contém uma de suas faces, não importa qual. E há também os não-convexos, como mostra a ilustração.

Os poliedros também podem ser classificados em: prismas, pirâmides e outros (que não são nem prismas nem pirâmides como por exemplo, os octaedros, os dodecaedros e os icosaedros).

 

COMO IDENTIFICAR OS PRISMAS?

Os prismas são poliedros que apresentam pelo menos duas faces paralelas e congruentes (mesma forma e mesmo tamanho) chamadas de bases; suas faces laterais são sempre paralelogramos (com diferentes peculiaridades: retângulos, quadrados etc).

Um prisma pode ser reto ou oblíquo, conforme as faces laterais sejam perpendiculares ou não as bases.

Nomeamos os prismas em função da forma das suas bases: assim, um prisma pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc.

Quando as bases de um prisma têm forma de paralelogramo, o prisma chama-se paralelepípedo. Quando todas as faces de um paralelepípedo são retângulos, temos um paralelepípedo retângulo.

Se as faces são quadradas temos então um cubo ou hexaedro regular.

 

COMO SE CARACTERIZAM AS PIRÂMIDES?

As pirâmides são poliedros em que as faces laterais são todas triangulares e têm um vértice em comum. Uma face identificada com base pode ser um polígono qualquer.

Elas também são mostradas em função de sua base, ou seja, as identificamos como pirâmide de base triangular, quadrangular, pentagonal etc.

Uma pirâmide particular é o tetraedro regular em que as 4 faces são triângulos equiláteros.

Um poliedro é dito regular quando pode ser inscrito numa esfera e tem como faces, polígonos regulares idênticos. Existem apenas 5 poliedros regulares.

São eles: o cubo, o tetraedro, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.

 

RELAÇÕES NUMÉRICAS

Podemos verificar relações interessantes entre o número de vértices, faces e arestas de um poliedro qualquer.

Para tanto, podemos começar observando a seguinte tabela, em que estão anotados os números de vértices (V), faces (F) e arestas (A):

Poliedro
V
F
A
Cubo
8
6
12
Paralelepípedo
8
6
12
Prisma de base triangular
6
5
9
Prisma de base pentagonal
10
7
15
Prisma de base hexagonal
12
8
18
Pirâmide de base triangular
4
4
6
Pirâmide de base pentagonal
6
6
10
Pirâmide de base hexagonal
7
7
12
Tetraedro
4
4
6
Octaedro
6
8
12
Dodecaedro
20
12
30
Icosaedro
12
20
30

Para todos os poliedros da tabela, V + F = A + 2.

Essa relação é chamada Relação de Euler e vale para qualquer outro poliedro.

Mas há outras relações numéricas entre esses elementos:

Nas pirâmides, o número de vértices é sempre igual ao número de faces.

Chamando de n o número de lados do polígono que é a base de um prisma, temos:

V = 2n, F = n + 2A = 3n

Chamando de n o número de lados do polígono que é base de uma pirâmide, temos:

V = n + 1, F = n + 1A = 2n

Um poliedro pode ser planificado e as planificações podem ser diferenciadas. Estas são diferentes planificações de um cubo.

Uma atividade interessante para os professores consistiu em desenhar planificações de diferentes sólidos e também de corresponder moldes (padrões) com sólidos já montados.

OS CORPOS REDONDOS

Nem todos os objetos do espaço tridimensional são poliédricos. Há os que são limitados por uma superfície arredondada (como a esfera) e os que são limitados por superfícies arredondadas e planas (como o cone e o cilindro).

A esfera, o cilindro e o cone podem ser gerados, respectivamente, pelo movimento de um semi-círculo, de um retângulo e de um triângulo retângulo em torno de um eixo. Por isso são conhecidos como sólidos de revolução

.

No movimento que cada ponto do semi-círculo faz para gerar a esfera ele descreve uma circunferência que tem por centro um ponto do diâmetro e cujo raio é tanto maior quanto maior é a distância de seu eixo.

Dessa forma todos os pontos da superfície esférica são igualmente distantes do centro da esfera. A esfera não pode ser planificada.

Qualquer seção (corte) plana da esfera é circular. As dimensões variam de acordo com a localização do corte. As secções que passam pelo centro da esfera são chamadas círculos máximos e funcionam como plano de simetria da esfera. No globo terrestre, os meridianos e linha do Equador são círculos máximos.

O cilindro é uma figura bastante comum no cotidiano das pessoas: latas de óleo, tubulações têm essa forma. Abrindo um cilindro e planificando-o é possível observar que sua superfície é formada por dois círculos (as bases) e por um retângulo (a superfície lateral).

Quando fazemos cortes no cilindro podemos obter seções de formas diferentes.

A planificação do cone revela que sua superfície é composta por um círculo (base) e por um setor circular (superfície lateral).

Também podemos obter diversas seções cônicas.

Se o corte for feito por um plano paralelo a sua base a seção é circular conforme na figura a. Nas figuras b, c, e d as seções são chamadas de elipse (fig b), parábola (fig c) e hipérbole (fig d), conforme foto.

Trechos extraídos das páginas 102 à 110 do livro de PIRES, Célia M. C. Espaço e Forma: a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: PROEM, 2000.