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FIGURAS BIDIMENSIONAIS


Primeiramente é importante destacar um aspecto referente a definições, nomenclatura e classificações.

O termo "polígono", por exemplo, aparece em alguns textos como uma figura plana fechada, simples, formada de segmentos de reta. Em outras palavras, ao considerá-las como figuras formadas por uma linha poligonal fechada considera-se o polígono como um "contorno".

Desse modo, distinguem-se de figuras não poligonais, como por exemplo.

No entanto, em alguns textos o termo polígono refere-se a uma região do plano limitada por um contorno, formado de vários (poli) ângulos (gonos).

Tal diferença precisa ser observada para que possamos identificar, num  texto, que concepção está sendo usada pois não há uma certa e outra errada, mas é preciso utilizá-las com coerência. Quando falamos em quadrados podemos estar nos referindo tão somente a um contorno especial como a esse contorno reunido com seu interior.


Em qualquer situação, polígonos são figuras:

  • formadas por segmentos consecutivos.
  • fechadas.
  • simples (não se cruzam).

Os polígonos podem diferenciar-se por serem convexos ou não, pelo número de lados, pelo número de ângulos internos, pelo número de eixos de simetria etc.

Em polígonos convexos, um segmento que une quaisquer dois pontos do seu interior está totalmente contido no polígono.

Quando isso não acontece, dizemos que o polígono é não convexo.

Se considerarmos o número de lados dos polígonos, podemos estabelecer uma classificação dos mesmos e também nomeá-los. Vejamos alguns exemplos:

Polígonos de 3 lados => Triângulos
Polígonos de 4 lados => Quadriláteros
Polígonos de 5 lados => Pentágonos
Polígonos de 6 lados => Hexágonos
Polígonos de 7 lados => Heptágonos
Polígonos de 8 lados => Octógonos
Polígonos de 9 lados => Eneágonos
Polígonos de 10 lados => Decágonos

Alguns polígonos são chamados de regulares. Os polígonos regulares têm todos os seus lados e todos os seus ângulos com mesma medida.

As diagonais de um polígono são segmentos que unem dois vértices não consecutivos desse polígono. Em todos os polígonos com mais de 3 lados, podemos traçar e contar as diagonais. Assim, no quadrilátero podemos traçar 2 diagonais, no pentágono podemos traçar 5 diagonais, no octógono podemos traçar 20 diagonais, etc.

 

OS TRIÂNGULOS: POLÍGONOS MUlTO ESPECIAIS

Os triângulos são polígonos muito especiais porque todas as demais figuras poligonais podem ser decompostas em triângulos.

Essas figuras com 3 lados e 3 ângulos podem ser classificadas de várias maneiras. Podemos classificar os triângulos levando em conta a medida de seus lados. Assim podemos definir, de uma forma mais "tradicional", assim:

  • Triângulos equiláteros: têm 3 lados de mesma medida (1)
  • Triângulos isósceles: têm 2 lados de mesma medida (2)
  • Triângulos escalenos: todos os lados têm medidas diferentes (3)

Mas, convém destacar que as definições acima não são as únicas possíveis. Há uma forma de fazê-las de modo a incluir as diferentes classes de triângulos umas nas outras.

Há uma relação métrica muito interessante entre as medidas dos lados de um triângulo: cada lado tem que ter medida menor que a soma das medidas dos outros dois lados. Sendo a, b e c a medida de cada um dos lados de um triângulo qualquer, temos:

a < b + c

b < a + c

c < b + a

Uma propriedade fantástica dos triângulos é a chamada rigidez triangular: um triângulo, jamais se deforma, enquanto figuras de 4 ou mais lados não são rígidas. Essa rigidez justifica o fato de os carpinteiros colocarem uma espécie de trava quando fazem portões.

Outra propriedade métrica importante dos triângulos é que, qualquer que seja o triângulo que se considerar, a soma das medidas de seus ângulos internos é sempre a mesma: 180°.

Os triângulos são figuras geométricas importantes porque geram as demais figuras. Um quadrilátero pode sempre ser decomposto em, no mínimo, 2 triângulos. Um pentágono pode sempre ser decomposto em, no mínimo, 3 triângulos. E assim por diante.

Assim, é possível determinar a soma dos ângulos internos de um polígono qualquer dividindo-o em triângulos a partir do vértice. Para isso é preciso traçar as diagonais que partem de um dos vértices desse polígono transformando-o em triângulos. A partir dessa divisão basta somar a quantidade de triângulos e determinar a soma dos ângulos internos do polígono como mostra a tabela abaixo.

Polígono
Nº de lados

Nº de diagonais que partem do vértice

Nº de triângulos
Soma dos ângulos internos
Quadrilátero
4
1
2
360º
Pentágono
5
2
3
540º
Hexágono
6
3
4
720º
Octógono
8
5
6
1080º
Eneágono
9
6
7
1260º
Decágono
10
7
8
1440º

Se considerarmos polígonos regulares é possível determinar o valor de cada um dos seus ângulos internos a partir da soma dos ângulos desse polígono. A tabela abaixo mostra o valor de cada ângulo interno de polígonos regulares e a partir deles, o valor de cada ângulo externo é a soma dos ângulos externos de um polígono regular.

Polígono

N° de lados  

Soma dos ângulos internos

Medida de cada ângulo interno

Medida de cada ângulo externo

Soma dos ângulos externos

Quadrilátero

4

360°

90°

90°

90° x 4 = 360°

Pentágono

5

540°

108°

72°

72° x 5 = 360°

Hexágono

6

720°

120°

60°

60° x 6 = 360°

Octógono

8

1080°

135°

45°

45° x 8 = 360°

Eneánogo

9

1260°

140°

40°

40° x 9 = 360°

Decágono

10

1440°

144°

36°

36° x 10 = 360°

A medida dos ângulos internos de um polígono é fundamental para decidir se ele é ou não recomendável para pavimentar uma superfície plana. A medida do ângulo interno de um polígono regular deve ser um divisor de 360° para que seja possível compor um ângulo de 360° com os vértices dos ladrilhos do mesmo tipo.

Assim, podemos compor uma superfície com hexágonos pois cada ângulo interno do hexágono mede 120° e com 3 hexágonos, unidos pelo vértice, é possível formar o ângulo de 360° o mesmo não acontece com o pentágono, pois cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108° que não é divisor de 360°.

    É possível ladrilhar uma região plana com retângulos? triângulos? octógonos?

 

OS QUADRILÁTEROS


Os quadriláteros também podem ser classificados usando alguns critérios como o paralelismo de seus lados, a medida de seus ângulos ou de seus lados. Podemos definir trapézio como quadrilátero que tem pelo menos um par de lados paralelos. Esses lados são denominados bases do trapézio.

Há trapézios isósceles, escalenos e retângulos.

Paralelogramos são quadriláteros cujos lados são dois a dois paralelos. Podemos considerar então que um paralelogramo é um trapézio particular (se o paralelogramo tem dois pares de lados paralelos, então é um trapézio). Num paralelogramo os lados opostos têm a mesma medida e os ângulos opostos também têm a mesma medida. Já dois ângulos consecutivos somam juntos, 180°.  

    
Num paralelogramo, as diagonais se cortam no meio.


O retângulo é paralelogramo que tem um ângulo reto (e se tem um, os demais também são retos) .


As diagonais de um retângulo se cortam no meio e tem a mesma medida.

O losango é um paralelogramo em que todos os lados têm o mesmo tamanho.


No losango, as diagonais são perpendiculares e se cortam no meio.

O quadrado é um retângulo que também é losango.

Os quadriláteros convexos podem ser decompostos em 2 triângulos. Assim sendo, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360° (2 X 180°). É possível construir diversos quadriláteros com régua e compasso, sabendo-se as características desses quadriláteros.

 

FIGURAS CIRCULARES


Nem todas as figuras planas são poligonais. Existem figuras planas delimitadas por curvas. Dentre elas a de curvatura mais perfeita é o círculo. Círculo é a região do plano limitada por uma curva chamada circunferência. Corda é o segmento traçado entre dois pontos da circunferência.

Num círculo podemos destacar como elemento

c: corda

r: raio

d: diâmetro

Num círculo podemos destacar como elementos o raio e o diâmetro. O raio é a distância fixa que existe do centro a circunferência.

Um círculo admite uma infinidade de eixos de simetria, seus diâmetros. O diametro é a maior das cordas.

Se dividirmos um círculo por meio de seu diâmetro obteremos 2 semi-círculos.

Trechos extraídos das páginas 173 à 180 do livro de PIRES, Célia M. C. Espaço e Forma: a construção de noções geométricas pelas crianças das quatro séries iniciais do Ensino Fundamental. São Paulo: PROEM, 2000.