Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) foram
elaborados (1997/2002), num esforço conjunto do Governo Federal,
pesquisadores e professores na busca por qualidade na Educação
brasileira. Cada área do conhecimento teve seu espaço
de discussão e gerou os seus Parâmetros. Foram organizados
os Temas Transversais a fim de integrar essas diferentes áreas.
Foram respeitadas as pluralidades da realidade brasileira e, ao mesmo
tempo, a identidade nacional.
No que diz respeito à área de Matemática, os objetivos
para o Ensino Fundamental (EF), resumidamente, propõem levar
o aluno a:
• identificar a matemática como meio que possibilita a
compreensão e a transformação do mundo;
• perceber o caráter de jogo intelectual da Matemática
como estimulante ao interesse, à curiosidade, ao espírito
de investigação e ao desenvolvimento da capacidade de
resolver problemas;
• registrar aspectos quantitativos e qualitativos e estabelecer
o maior número possível de relações entre
eles a partir da seleção, organização e
produção de informações relevantes, sua
interpretação e sua avaliação crítica;
• resolver situações-problema experimentando diferentes
estratégias e buscando comprovar a validade de seus resultados;
• desenvolver variadas formas de raciocínio e processos,
utilizando conceitos e procedimentos matemáticos e instrumentos
tecnológicos;
• comunicar-se matematicamente, descrevendo representando e apresentando
resultados e argumentando sobre suas conjecturas, estabelecendo relações
entre as diferentes formas de representação conceitual
e matemática;
• estabelecer conexões entre temas matemáticos e
entre esses e conhecimentos de outras áreas;
• sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos
matemáticos;
• interagir com seus pares de forma cooperativa, respeitando o
modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Para tanto, os PCNs de Matemática do EF apontam alguns caminhos
para o trabalho de Matemática, destacando os recursos da resolução
de problemas, da história da Matemática, das Tecnologias
da Informação e dos Jogos. Os PCNs asseguram liberdade
de escolha, ordenação e desenvolvimento dos conteúdos
identificados como os conhecimentos, competências, hábitos
e valores que são socialmente relevantes. Respeitando essa pluralidade
e buscando uma identidade nacional, foi consenso estabelecido que os
currículos de Matemática do EF devam contemplar o estudo
dos números e das operações (Aritmética
e Álgebra), o estudo do espaço e das formas (Geometria)
e o estudo das grandezas e das medidas (Aritmética, da Álgebra
e da Geometria).
Assim, formaram-se quatro grandes blocos de conteúdos que perpassam
toda a Educação Básica: Números e Operações;
Espaço e Forma; Grandezas e Medidas; e Tratamento da Informação.
A cada ciclo, como estão subdivididos os anos curriculares nos
PCNs, aumenta a complexificação dos conceitos envolvidos.
Por exemplo, no primeiro ciclo, correspondente as 1ª e 2ª
séries do EF (de 8 anos), o conceito de número está
sendo formado, no segundo ciclo, correspondente as 3ª e 4ª
séries do EF (de 8 anos), eles foram/estão sendo classificados
em Naturais, Inteiros e Racionais.
Segundo Papert (1980), o ensino da Matemática, tradicionalmente
feito nas instituições escolares, é um processo
que faz a criança “esquecer a experiência natural
da matemática a fim de aprender um novo conjunto de regras”
(p.243). Carraher (1989) também caracteriza a matemática
escolar como não sendo significativa para o estudante, mas, sim,
uma atividade institucional cujo objetivo é que o sujeito realize
a tarefa definida pelo professor, saia-se bem em um exame, preencha
o tempo na escola ou, até mesmo, aprenda Matemática.
Via de regra, a professora demonstra e/ou
explica um procedimento e, a seguir, os alunos executam atividades
que visam à prática do mesmo. Quando exemplos da vida
diária são introduzidos na sala de aula, eles visam
à execução das rotinas demonstradas pela professora,
não à compreensão da situação
e sua utilização para a compreensão de conceitos
matemáticos. (Carraher, 1989, p. 90).
Piaget (1973), que acredita na construção natural e gradual
das estruturas lógico-matemáticas elementares, critica
a ênfase do ensino na transmissão de verdades do professor
para os alunos, pois além da linguagem do professor ser extremamente
axiomática e complexa, diferente da linguagem do aluno, essa
transmissão não se preocupa com e nem oportuniza as idéias
espontâneas da criança. O autor (2002), preconiza que a
aprendizagem ocorre a partir da interação entre sujeito
e objeto – colocando em evidência a atividade do sujeito
apoiada no objeto e, ao mesmo tempo, limitada por ele –, portanto
dependente de ambos, numa construção contínua.
Assim, para construir conhecimento, é preciso reestruturar as
significações anteriores – a idéia que o
aprendiz traz consigo –, produzindo diferenciações
e integrando as novas significações ao sistema de significados
do sujeito. Essa integração resulta da atividade de diferentes
sistemas lógicos do sujeito, que interagem entre si e com os
objetos a assimilar ou com os problemas a resolver. O conhecimento novo
para o sujeito é produto de sua atividade intencional, interatividade
cognitiva com os pares, trocas afetivas e investimento de interesses
e valores.
A aprendizagem fica vinculada à interação do aprendente
com seu objeto de estudo. Mas como interagir com a Matemática
e seus conceitos abstratos? De que forma os professores de Matemática
podem ampliar a interação de seus alunos com o conhecimento
matemático, romper a barreira da exposição e colocar
os educandos em uma posição mais ativa em que suas ações
e operações sejam oportunizadas, incentivadas, respeitadas
e reconhecidas?
De acordo com a perspectiva da Epistemologia Genética, um dos
grandes equívocos do ensino de Matemática seria negligenciar
o papel das ações. O trabalho com variados recursos didático-pedagógicos,
que coloquem o aluno em interação com diversos conceitos
matemáticos, principalmente os manipulativos, pois têm
mais propriedades observáveis para crianças, é
uma alternativa para sala de aula. Quanto mais diversificadas forem
as formas conceituais (objetos "reais", objetos virtuais,
desenhos, produções textuais, etc.) nas quais os alunos
tenham oportunidade de manipulação livre e experimentação
a fim de conhecer o objeto, operar com suas propriedades, quanto maiores
forem as trocas entre os pares e com o professor, nas quais estão
incluídos conteúdos atitudinais (trabalho em equipe, cooperação,
respeito, solidariedade, etc), quanto mais situações-problema,
nas quais os alunos encontrem significado e possam se envolver criativamente,
maiores as probabilidades de que esses conceitos sejam aprendidos e
não simplesmente decorados para serem repetidos.
Os professores podem preocupar-se com a possibilidade de que a variedade
de referências das propriedades físicas dos objetos possam
prejudicar o desenvolvimento da dedução e da racionalidade
pura que caracteriza essa disciplina. Entretanto, segundo Piaget (1987),
ao negligenciarem a importância da experimentação,
acabam por dificultar – e até mesmo impedir – um
desenvolvimento mais completo e abrangente das estruturas que tanto
estimam. Ele afirma que o papel inicial das ações e experiências
lógico-matemáticas, longe de impedir o posterior desenvolvimento
de pensamento dedutivo, constitui-se como preparação para
tal, pois as coordenações dessas ações e
experiências, enquanto são interiorizadas, propiciam o
surgimento de um tipo particular de abstração que corresponde
à abstração lógica e matemática.
Essa interiorização pode ser entendida como representação
conceitual, isto é, o exercício de representar a situação
vivenciada, sistematizando os conceitos explorados. É essa sistematização
que oportuniza o desenvolvimento da capacidade de abstração,
que coloca o aluno em contato com a formalização do conhecimento
matemático num sentido diferente do usual. O que se encontra,
tradicionalmente, é uma explanação teórica,
seguida da aplicação de exercícios, normalmente
também teóricos, sobre determinado conteúdo; o
que se apresenta como alternativa é partir da ação,
da prática para a teoria, do fazer para o abstrair, do aluno
para o próprio aluno.
Piaget (1972) considera que, no ato de conhecer, o sujeito é
ativo e que, em conseqüência disso, encontra perturbações
externas e reage a elas com intenção de compensá-las,
tendendo ao equilíbrio. Por exemplo, uma criança que conhece
uma bola de futebol, já interagiu com uma, cria um sistema de
esquemas em relação a esse objeto e, assim, ele ganha
a atribuição de ser “chutável”; ao
ver uma outra bola, poderá lembrar da bola de futebol e tentar
chutá-la. Somente ao fazer isso, poderá perceber se essa
bola é igual a que conhece ou não: caso seja uma bola
de boliche, seu conhecimento ficará perturbado e ela precisará
modificá-lo, precisará agir sobre essa nova bola para
classificá-la de forma diferente da bola de futebol, entendendo
que uma é “chutável” e a outra não;
assim, recuperará seu equilíbrio novamente, pelo menos,
até encontrar uma outra bola diferente.
Segundo o referido autor (1972), o conhecimento ocorre a partir da ação
do sujeito e não a partir de cópias mentais da realidade.
A essa ação, que permite ao sujeito desenvolver seu conhecimento
sobre um objeto, Piaget chama de operação. Uma operação
é definida como uma ação ou um grupo de ações
interiorizadas e reversíveis que transformam o objeto do conhecimento
e possibilitam que o sujeito compreenda as estruturas dessa transformação.
Operar é, também, um processo que está sempre ligado
a outras operações e, portanto, é sempre parte
de uma estrutura total, uma estrutura operacional que compõe
a base do conhecimento.
Piaget (1973), afirma que essas estruturas são elaboradas primeiramente
por operações lógicas e, em seguida, pela coordenação
geral dessas ações. No começo da coordenação
das ações, ela necessita ser apoiada em materiais concretos,
pois ocorre, normalmente, antes do estágio das operações.
Com o processo de desenvolvimento, essa coordenação conduz
às estruturas lógico-matemáticas. Esse processo,
desenrola-se com suporte nas experiências do sujeito, um dos fatores
determinantes da transposição dos níveis de desenvolvimento.[2]
Cabe diferenciar dois tipos de experiência: uma é a experiência
física, que consiste em modificar características físicas
como posição, forma, cor, tamanho, etc.; a outra consiste
em modificar o objeto atribuindo-lhe novas propriedades ou relações
desde que se conservem as suas propriedades ou relações
anteriores, ao mesmo tempo que as completem com sistemas de classificações,
ordenações, estabelecimentos de correspondência,
enumerações ou medidas, etc. A essa segunda forma de transformar
o objeto com o propósito de conhecê-lo, Piaget (1973) chama
de experiências lógico-matemáticas. Esse tipo de
experiência retira informação das ações
e da coordenação dessas ações executadas
sobre os objetos, não das propriedades físicas de objetos
particulares.
Essa experiência lógico-matemática dá-se
a partir da coordenação geral das ações
de juntar coisas, ordená-las, seriá-las, etc. É
uma experiência das ações do sujeito e não
de objetos em si mesmos. É uma experiência que se faz necessária
antes que possa haver operações. Uma vez que as operações
sejam atingidas, ela torna-se desnecessária e a coordenação
das ações pode ocorrer por si mesma, sob a forma de dedução
e construção de estruturas abstratas.
Como exemplo de experiência lógico-matemática, Piaget
(1972) cita a vivência de um amigo matemático que, quando
criança, brincava com sementes, agrupando-as em linha e contando-as,
da esquerda para a direita, encontrando dez. Depois, as contou da direita
para a esquerda e ainda encontrou dez. Então, as colocou em um
círculo e encontrou novamente, dez. Contou-as no sentido oposto
e eram dez em ambos os sentidos. Continuou organizando as sementes de
vários modos e acabou convencido de que o total era dez, independente
da disposição ou organização delas. Na citação
abaixo, Piaget (1972) explica porque não é a propriedade
física das sementes que a experiência demonstra, mas sim
uma propriedade das ações realizadas com elas:
Ele não descobriu uma propriedade das
sementes, descobriu uma propriedade da ação de ordenar.
As sementes não possuem ordem. Foi a sua ação
que introduziu um ordenamento em fileira ou circular, ou algum outro
tipo de ordem. Ele descobriu que a soma era independente da ordem.
A ordem era a ação que ele introduzia entre as sementes.
O mesmo princípio aplicava-se a soma. As sementes não
possuem soma; eram simplesmente uma pilha. Para fazer uma soma,
era necessária uma ação – a operação
de colocá-las juntas e contá-las. Ele descobriu que
a soma era independente da ordem, em outras palavras, que a ação
de pô-las junto era independente da ação de
ordená-las. Descobriu uma propriedade da ação
e não de uma propriedade das sementes (p. 13).
No exemplo, foi uma manipulação livre,
uma experiência física, que proporcionou a ocorrência
de uma abstração, uma experiência lógico-matemática.
Dessa situação podemos perceber que diferenciação
entre essas duas experiências, ao contrário do que possa
parecer, não está no fato de interagir com objetos [3],
mas na exploração das ações, das propriedades,
dos significados, enfim, das operações realizadas pelo
sujeito.
Abordando, mais especificamente, a questão do pensamento matemático,
Piaget (1987) afirma que as operações lógico-matemáticas
estão ligadas às ações mais gerais que podem
ser aplicadas nos objetos como agrupar, separar, ordenar, estabelecer
correspondência, etc.
Inicialmente, as ações mais gerais passíveis de
serem aplicadas ao objeto acorrem de acordo com o aspecto físico,
especializadas em função do objeto mesmo. Essas ações
gerais consistem em transformações materiais e/ou mentais
realizadas sobre os próprios objetos. Há, ainda, intervindo
sobre elas, as coordenações gerais sobre as próprias
ações físicas, ou seja, as ações
de agrupar, separar, ordenar, desordenar, etc. são também
associadas ou dissociadas, postas em correspondência, ordenadas,
etc. Pode-se dizer que o sujeito atua sobre os objetos e sobre as ações
da mesma forma, coordenando-os como se fossem homólogos. Essas
coordenações gerais das ações e das ações
especializadas são indiferenciadas para o sujeito no começo.
Em um segundo momento, essas ações abrangem também
coordenações gerais entre as próprias ações
e, assim, as operações lógico-matemáticas
podem ser delineadas como uma experiência das próprias
ações do sujeito, da representação e das
coordenações inferenciais sobre essas ações
e não como uma experiência de objetos em si mesmos. A diferenciação
entre as operações físicas e as operações
matemáticas acorre de forma crescente à medida que o sujeito
começa a distinguir os elementos específicos do objeto
dos generalizadores, isto é, ao que pode ser deduzido da coordenação
da ação sobre o objeto.
Uma vez que essas operações são atingidas, a experiência
não é mais necessária e a coordenação
das ações pode ocorrer por si mesma, sob a forma de dedução
e construção de estruturas abstratas. É ainda no
nível das operações concretas que agrupamentos
lógicos e estruturas espaciais e numéricas são
constituídas em sistemas dedutivos diferenciados das operações
físicas.
Por último, as operações lógico-matemáticas
assumem o caráter de construções axiomáticas,
generalizando formalizações independentemente de qualquer
tipo de experiência. O sujeito abre mão da ação
física de modo que as coordenações das ações
especializadas passam a ser consideradas como casos particulares das
ações possíveis.
Em outras palavras, o pensamento matemático desenvolve-se a partir
de ações suscetíveis a repetições
e, depois, a generalizações. À medida que esse
processo se desenrola, surgem esquemas de assimilação
que se auto-organizam de acordo com as leis que os estruturam. Manifesta-se
uma lógica de ação que comanda a construção
de identidades, o que conduz à elaboração de estruturas.
O desenvolvimento dos entes matemáticos é originado na
coordenação de ações do sujeito sobre o
objeto que se distancia cada vez mais do objeto em si, mas pode reencontrá-lo
e valer-se dele em qualquer nível de profundidade que sua análise
física possa conduzir.
O professor, portanto, deve possibilitar a vivência dessas experiências
ou, em outras palavras, deve permitir que as ações dos
alunos desencadeiem suas generalizações; deve possibilitar
e permitir que o aluno seja agente na construção de seu
próprio conhecimento – agente no sentido de agir, participar,
envolver-se, etc. para aprender. Assim, os professores agem como organizadores,
consultores, mediadores, controladores, incentivadores de aprendizagens
[4]
(PCNs, pg. 31).
Ao contrário da simples reprodução de procedimentos
e do acúmulo de informações, é consenso
que se deve possibilitar o desenvolvimento dos alunos de forma que eles
possam construir capacidades de observação e análise,
de estabelecimento de relações, de comunicação
e argumentação e de validação e defesa de
processos e idéias, além de estimular diferentes formas
de raciocínio, intuição, indução
e dedução e a estimativa.
Enfim, retomando a importância das experiências físicas
e lógico-matemáticas e a convergência existente
entre essas ações e coordenações de ações
e os “caminhos para 'fazer Matemática' na sala de aula”,
apresentados nos PCNs (pg. 32), destacamos que os recursos à
resolução de problemas, à história da Matemática,
às tecnologias da informação e aos jogos são
ótimas alternativas de trabalho em Matemática [5],
pois possibilitam ao aluno a criação de seus próprios
métodos de resolução e, até mesmo, de suas
próprias teorias e viabilizam a exploração e o
conseqüente desenvolvimento do raciocínio. O professor,
ao valer-se dessas e outras alternativas de trabalho, auxilia os alunos
em suas aprendizagens, oferecendo diferentes formas de relacionamento
e variadas formas de exploração do saber científico
disseminado.